Procesos de Lévy en finanzas y la función de densidad normal inversa gaussiana, un estudio para México

Abstract

Durante los últimos años los rendimientos de las acciones se han modelado utilizando herramientas más sofisticadas para explicar su comportamiento, una de ellas y quizá la más importante, son los procesos estocásticos estacionarios continuos, dentro de los cuales el más utilizado y por lo mismo el más conocido es el movimiento Browniano o proceso de Wiener. Desde 1900 con Louis Bachelier [2] esta clase de procesos se comenzó a utilizar para estudiar las finanzas y hasta la fecha estos procesos se utilizan muy frecuentemente en la actualidad, ejemplos de esto es el modelo de Black -Scholes (1973) [18] el cual se utiliza para valuación de derivados y precios de opciones, otras aplicaciones relavantes que se han desarrolado son del área de estructura de tasas de interés, entre estos modelos se encuentran, el de Ho-Lee [25], Cox, Ingersoll and Ross ], Vasicek [37], etc. Esta clase de procesos estocásticos continuos tienen dos propiedades muy importantes una de ellas es la continuidad, lo cual significa que las trayectorias del movimiento Browniano son continuas en el tiempo, la otra es la invarianza en la escala, lo que implica, que las propiedades estadísticas del movimiento Browniano son las mismas en todo el tiempo, por ello es parecido a un fractal, si se amplía cualquier tramo de la trayectoria del proceso, el resultado es el mismo, es decir, que el comportamiento es igual en un año que en una semana, por lo que utilizar el proceso de Wiener para modelar las finanzas, implica asumir que el comportamiento de las series cumplen con estas propiedades. Desafortunadamente en el caso de las series históricas de los rendimientos de las acciones mexicanas, estas propiedades no se cumplen, pues existen saltos, lo que causa discontinuidades en las trayectorias, además de que el comportamiento de las acciones en una semana es muy diferente al de todo un año y más aún el movimiento Browniano asume que la función de densidad asociada a las variables en estudio es la distribución Normal, lo cual como se demostrará en el primer capítulo de esta tesis no es correcto, por lo que el uso del movimiento Browniano no es el adecuado para el estudio de datos financieros mexicanos. Primero porque estas series no son continuas en el tiempo, existen saltos durante el periodo de estudio, además de que el comportamiento de los rendimientos de las acciones no es el mismo en un mes que en un año y mucho menos siguen una distribución Normal, por lo que es necesario cambiar de proceso estocástico para el estudio de las finanzas en el caso de México. En los años 30, se comenzó a estudiar una clase de procesos estocásticos estacionarios, llamados procesos de Lévy. Esta clase de procesos es muy amplia ya que incluye tanto procesos continuos (procesos de Wiener) como procesos discontinuos (con saltos), el comportamiento de las trayectorias de estos procesos depende de la función de densidad que tenga asociada la serie en estudio, pero esta clase de procesos estocásticos sólo tienen asociadas funciones de densidad infinitamente divisibles, entre las cuales se encuentran la t-student, Poisson, Normal, Cauchy, Binomial negativa, Exponencial, Hiperbólica, Normal inversa gaussiana, Hiperbólica generalizada, distribución F, distribución 5, etc. [34] El uso de Procesos de Lévy implica primero decidir cuál de todas las funciones de densidad infinitamente divisibles se ajusta mejor a los datos mexicanos, la importancia de saber qué función se ajusta mejor a los datos no es sólo para saber que función se debe utilizar para los procesos de Lévy, también por ejemplo, en el caso de la herramienta de Valor en Riesgo (VaR) paramétrico se debe de conocer la función de densidad asociada a los datos para ser calculado. En 1977 en la Universidad de Aarhus, Ole Barndorff-Nielsen [5], propuso una nueva clase de funciones de densidad llamada Hiperbólica Generalizada, las cuales tienen colas semi-pesadas, esta función de densidad originalmente surge para modelar el tamaño de los granos de arena que en 1941 Ralph Alger Bagnold [3] proporciono, dicha función densidad tiene cinco parámetros uno de ellos es A, que nos dice que tan pesadas son las colas de la función. De esta familia de funciones de densidad las más conocidas son las funciones Hiperbólica y Normal Inversa Gaussiana las cuales se originan cuando A toma el valor de 1 ó -1/2 respectivamente, en un principio se creía que la series de datos financieros seguían una función de densidad Hiperbólica, de hecho en 1994 Eberlein & Keller [23], Bibby & S0rensen [19], K�chler, Neumann, S0rensen y Streller en 1994 [30] hacen estudios utilizando esta función de densidad para modelar datos financieros alemanes y daneses, pero en 1995 Ole Barndorff-Nielsen [9] demostró que la función de densidad Normal Inversa Gaussiana ajustaba mejor las series de datos que Eberlein & Keller habían utilizado. Trabajos posteriores realizados por Rydberg (1995) [33], y Blsesild (1995) mostraron que la función de densidad Normal Inversa Gaussiana era la más apropiada para modelar los datos financieros. Además, los procesos de Lévy que siguen esta distribución son matemáticamente más sencillos que los generados a partir de una distribución Hiperbólica, pues tienen la propiedad de ser cerrados bajo convolución. Como se demostrará en esta tesis los datos en México no siguen una función de densidad Normal, por lo cual el movimiento Browniano no es el más adecuado para modelar el comportamiento de estos, también se muestra que la función de densidad Normal Inversa Gaussiana nos da un mejor ajuste para las series de rendimientos de las acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores por lo cual es necesario cambiar de procesos estocásticos continuos a procesos estocásticos con saltos es decir a Procesos de Lévy con funciones de densidad Normal Inversa Gaussiana. Este trabajo está formado de las siguientes partes, Capítulo 2. Manejo de los datos, Capítulo 3. Pruebas ómnibus de normalidad, en el cual se da una breve explicación de la prueba de normalidad ómnibus propuesta por Urzúa en 1997 [36], Capítulo 4. Prueba Kolmogorov-Smirnov para la función de densidad t-Student, en el Capítulo 5. Procesos de Lévy, se revisan algunos de los resultados más importantes como la descomposición Lévy-Knint chine la cual es fundamental para comenzar con el estudio de esta clase de procesos, también se revisa el teorema g-momento, en el Capítulo 6. La función de densidad Normal Inversa Gaussiana, en este se revisan las propiedades de esta función de densidad, en el Capítulo 7. El Valor en Riesgo, se da una breve semblanza de esta herramienta y de la importancia que tiene a nivel mundial, por lo que el cálculo de la misma de manera más acertada es de gran utilidad en el área de la regulación financiera, en el Capítulo 8. Resultados, se analizan todos los resultados obtenidos en los diferentes capítulos y por último Conclusiones