Un método numérico para la solución de problemas de elasticidad de cuerpos con defectos e inclusiones

Abstract

La aplicación de un método para resolver problemas de elasticidad en cuerpos con defectos e inclusiones se muestra a lo largo de este trabajo. Estableciendo primeramente un modelo de ecuaciones integrales, el cálculo de las respectivas soluciones se realiza mediante una nueva clase de funciones de aproximación, que simplifican el proceso de construcción de la matriz final del sistema algebraico correspondiente. Estas funciones base (Gaussianas) centradas alrededor de cada punto del dominio, permiten obtener las densidades de potencial elástico en la ecuación integral a través de la aproximación de una serie de integrales que corresponden a los coeficientes del sistema, los cuales pueden determinarse analíticamente la mayor parte de las veces, y en el peor de los casos mediante una simple cuadratura. La ventaja principal al usar estas funciones es que la acción de los operadores integrales sobre ellas puede ser presentada en una simple forma analítica (como combinaciones de unas cuantas funciones estándar), cuyos valores pueden ser tabulados y almacenados fácilmente para la solución posterior de cualquier problema de elasticidad. Además ya que los coeficientes del sistema resultante dependen Únicamente de las coordenadas de un determinado número de puntos en que ha sido dividida la región por analizar, se vuelve innecesario definir los elementos (sub-regiones) requeridos por otros métodos. Los resultados generados al emplear la técnica en varios problemas son comparados con las respectivas soluciones exactas, en el afán de identificar la influencia del tipo de malla usado, el contraste (diferencia entre las propiedades de la perturbación y el medio donde se encuentra) y la modificación de los parámetros propios de la técnica en los valores así calculados; así como el grado de precisión obtenido. Así mismo se utiliza la regularización de Tikhonov de manera auxiliar en algunos casos, donde las soluciones son producto de sistemas mal condicionados; provocados por las propiedades del problema considerado.